Съдържание

Урок Разделяне на променливите Класификация: линейно, хомогенно, автономно Задачи

Диференциални уравнения в кинематиката

Автор: Claude Fable

Как се решават уравненията на движение: разделяне на променливите, класификация на линейните уравнения и методът на комплексната експонента.

Редактирай тази страница

Съдържание

Урок Разделяне на променливите Класификация: линейно, хомогенно, автономно Задачи

Урок

На ниво „Специална тема“ кинематиката спира да бъде „заместване във формулите за равноускорително движение“. Вторият закон на Нютон е диференциално уравнение, и когато силата зависи от скоростта или положението — съпротивление на въздуха, пружина, затихване — трябва да можете да го решите, а не да разпознаете готов случай. Този модул изгражда пълния инструментариум: разделяне на променливите, класификацията линейно/хомогенно/автономно и универсалния метод на комплексната експонента, който по-късно ще носи целите модули за трептения и вериги.


Zhou	Mechanics I: Kinematics, §1 (Motion in One Dimension)	Основата на този модул. Работете със записките паралелно с текста тук.
Morin - Introduction to Classical Mechanics	Глави 3–4 (Oscillations, Solving differential equations)	Подробният вариант на теорията с още решени примери.
Kleppner, Kolenkow - An Introduction to Mechanics	Глава 1 (Vectors and Kinematics)	Общ преговор на кинематиката, ако не сте я виждали със сериозен матанализ.
Feynman Lectures	Том I, глави 1–8	За удоволствие и физическа интуиция.

Разделяне на променливите

Най-често срещаното уравнение в кинематиката има вида $\dot v = f(v)$ или $\dot x = f(x)$ : производната на величината зависи само от самата величина. Такова уравнение се решава механично — събирате всичко с $v$ от едната страна, всичко с $t$ от другата и интегрирате от началното до крайното състояние:

\frac{dv}{dt} = f(v) \quad\Longrightarrow\quad \int_{v_0}^{v(t_f)} \frac{dv}{f(v)} = \int_0^{t_f} dt.

Пример 1: Хвърляне нагоре при линейно съпротивление

Zhou M1 - Easy

Задача за концентрация – опитайте се да решите тази задача преди да продължите!

Решението заслужава да се изпише подробно, защото съдържа два похвата, които ще използвате стотици пъти.

Решение

Внимание: Немият индекс не е границата

В междинния интеграл променливата под интеграла и горната граница не са едно и също нещо: интегрираме по немия индекс $t$ от $0$ до $t_f$ . Много автори (и много решения на олимпиади) пишат $t$ и за двете. Ако ги слеете наум, ще „диференцирате границата“ погрешно. Пишете $t_f$ , докато не приключите, после преименувайте.

Класификация: линейно, хомогенно, автономно

Идея 1: Кои уравнения са „хубави“

Едно диференциално уравнение за $x(t)$ е особено лесно, когато е:

от втори ред — съдържа най-много $\ddot x$ ; решението се определя от начално положение и начална скорост;
линейно — няма произведения на $x, \dot x, \ddot x$ ; тогава важи принципът на суперпозицията: ако $x_1(t)$ и $x_2(t)$ са решения, то и $c_1 x_1 + c_2 x_2$ е решение;
хомогенно — всеки член съдържа точно една степен на $x$ или производните му; тогава $x = 0$ е решение и амплитудата е произволна;
автономно (инвариантно на транслации във времето) — времето не се появява явно; тогава решенията могат да се отместват по $t$ .

Затихващият принуден осцилатор $m\ddot x = -b(t)\dot x - kx + f(t)$ е линеен, но нехомогенен и неавтономен; махнете $f(t)$ и направете $b$ константа — и получавате „най-хубавия“ клас.

Идея 2: Комплексната експонента решава всичко от хубавия клас

Всяко линейно, хомогенно, автономно уравнение се решава по един и същ начин: допускаме комплексно решение $\tilde x(t) = e^{i\omega t}$ , заместваме, съкращаваме $e^{i\omega t}$ и получаваме полином за $\omega$ . Общото решение е суперпозиция на комплексните експоненти за всички корени, а физичното решение е реалната му част.

Демонстрация върху хармоничния осцилатор $m\ddot x + kx = 0$ : заместването $\tilde x = e^{i\omega t}$ дава $-m\omega^2 + k = 0$ , т.е. $\omega = \pm\omega_0$ с $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ . Тогава

\tilde x(t) = Ae^{i\omega_0 t} + Be^{-i\omega_0 t} \quad\Longrightarrow\quad x(t) = \operatorname{Re}\tilde x(t) = C\cos\omega_0 t + D\sin\omega_0 t,

с реални $C, D$ , определени от началните условия. Никакво „налучкване на синуси“ — методът е алгоритъм.

Кога налучкването на експонента се проваля

Полиномът за $\omega$ има точно толкова корена, колкото е редът на уравнението — освен когато корен се повтори. При двоен корен второто решение е $t e^{i\omega t}$ (проверете за $\ddot x = 0$ : корените са $\omega = 0, 0$ , а решенията $1$ и $t$ ). В практиката два корена никога не са точно равни, затова случаят изглежда патологичен — но той е границата, към която решенията се приближават непрекъснато, и задача 7 от записките разнищва защо това изобщо се преподава. Това е и първата среща с явление, което ще видите пак при критично затихване в M4.

Уравнението $t^2\ddot x + t\dot x + t^2 x = 0$ (Бесел) е:

Въпрос 1 от 2

Задачи

Точките в тагването следват записките на Zhou (1 = загрявка, 4 = много трудна). Пълните решения са в M1Sol — гледайте ги чак след честен опит.

Източник	Име на задачата	Трудност	Тагове
Zhou M1	Свойства на решението с линейно съпротивление (Zhou M1.1)	Нормално	Покажи таговете Гранични случаи, Съпротивление
Zhou M1	Квадратично съпротивление (Zhou M1.2)	Трудно	Покажи таговете Разделяне на променливите, Съпротивление
Zhou M1	Отскок с квадратично съпротивление (Zhou M1.3)	Трудно	Покажи таговете Енергетичен подход, Съпротивление
Zhou M1	От комплексно към реално решение (Zhou M1.4)	Лесно	Покажи таговете Комплексни числа
Zhou M1	Затихващ хармоничен осцилатор (Zhou M1.5)	Нормално	Покажи таговете Комплексни числа, Трептения
USAPhO 2012	USAPhO 2012, задача B1	Трудно	Покажи таговете Диференциални уравнения, Кинематика
Zhou M1	Двойни корени и защо „не се случват“ (Zhou M1.7)	Трудно	Покажи таговете Диференциални уравнения, Концептуална
Zhou M1	Степенни редове и уравнение на Бесел (Zhou M1.8)	Много трудно	Покажи таговете Диференциални уравнения, Степенни редове

Напредък по модули:

Предишен

Следващ

Съдържание

Диференциални уравнения в кинематиката

Съдържание

Урок

Разделяне на променливите

Внимание: Немият индекс не е границата

Класификация: линейно, хомогенно, автономно

Идея 1: Кои уравнения са „хубави“

Идея 2: Комплексната експонента решава всичко от хубавия клас

Кога налучкването на експонента се проваля

Задачи

Напредък по модули:Незапочнато

Напредък по модули: