Оптимални траектории и четене на графики
Автор: Claude Fable
Минимални начални скорости, параболата на безопасност, обръщане на времето и радиусът на кривина — плюс задачите, които се решават с линийка върху графиката.
Предварителни модули
Урок
Оптимизационните задачи за хвърляния са редки на националния кръг, но любими на международните олимпиади, защото имат внезапно елегантни решения: правилният похват сваля петнайсетминутна сметка до три реда. Тук са четирите ключа — радиус на кривина в критичната точка, обръщане на времето, множеството на достижимите точки (параболата на безопасност) и геометричната дефиниция на параболата — плюс отделен раздел за задачите „с графика“, при които се мери с линийка.
| Ресурси | ||||
|---|---|---|---|---|
| Zhou | Идея 9, пример 8 и задачи 28–35. | |||
| Wang, Ricardo - Competitive Physics Mechanics and Waves | Систематичното изложение на параболата на безопасност с още примери. | |||
Радиусът на кривина в критичната точка
Задача за концентрация – опитайте се да решите тази задача преди да продължите!
Решение
Идея 9: Обръщане на времето
Механиката е обратима във времето, а скоростта на снаряд зависи само от височината, не от изминатия път. Затова „достигни точка B от точка A с минимална начална скорост“ е същата задача като „достигни A от B с минимална начална скорост“. Ако единият край е удобен (например върхът на ограда), стреляйте оттам.
Параболата на безопасност
Множеството точки, достижими от снаряд с фиксирана начална скорост (при всички ъгли на изстрелване), е ограничено от параболата на безопасност — обвивката на всички траектории:
Точка върху обвивката се достига с точно един ъгъл; точка под нея — с два; над нея — с нито един. Оттук „мога ли да улуча целта“ става проверка на едно неравенство, а „минималната скорост да улуча целта“ — условието целта да лежи върху обвивката.
Геометрията зад обвивката
Параболата на безопасност има фокус в точката на изстрелване. Това дава чисто геометрични решения на оптимизационните задачи (Zhou, задача 32): парабола е множеството точки, равноотдалечени от фокуса и от директрисата — и от това свойство следват както отговорът на „изстрелване по ъглополовящата“ (задача 29), така и формулата за прескачане на две огради (задача 31), без нито една производна.
Внимание: Максимален обсег по наклон ≠ 45°
Върху наклонен терен оптималният ъгъл не е : обсегът по склон надолу се максимизира при по-нисък ъгъл, по склон нагоре — при по-висок. Бързото правило (задача 29): изстреляйте по ъглополовящата между вертикалата и терена. Равен терен я прави точно — частен случай, не закон.
Четене на графики
Някои състезателни задачи (EFPhO 2015-6, EFPhO 2008-3) дават само графика или снимка на траектория и искат числа. Това не е украса — очаква се да печатате графиката и да мерите по нея с линийка: наклони на допирателни, разстояния между пресичания, радиуси на кривина. Тренирайте го веднъж преди състезание, защото първият път усещането „наистина ли просто меря?“ струва десет минути колебание.
Снаряд лети по крива и в даден момент нормалното му ускорение е при скорост . Радиусът на кривина на траекторията в този момент е:
Задачи
Последните три са пълни състезателни задачи от Архива — правете ги на чисто, с време. Решенията на задачите от записките са в M1Sol.
| Статус | Източник | Име на задачата | Трудност | Тагове | |
|---|---|---|---|---|---|
| NBPhO 2020 | Нормално | Покажи таговетеОптимизация, Хвърляния | |||
| Zhou M1 | Трудно | Покажи таговетеНаклонени оси, Оптимизация | |||
| 200 Puzzling Physics Problems | Трудно | Покажи таговетеГеометрия, Оптимизация | |||
| Zhou M1 | Много трудно | Покажи таговетеОбръщане на времето, Оптимизация | |||
| Zhou M1 | Много трудно | Покажи таговетеГеометрия, Обвивки | |||
| IPhO 2012 | Трудно | Покажи таговетеПараболата на безопасност, Хвърляния | |||
| EFPhO 2015 | Трудно | Покажи таговетеЧетене на графики | |||
| EFPhO 2008 | Трудно | Покажи таговетеЧетене на графики |